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考考你的小学知识

本帖最後由 rainbow 於 2017-2-18 16:26 編輯

  这道题如果用中学以上的计算方式并不难,但出题者却要求用只能用小学算术图形计算,哪位会解?(请列出计算方法)

  题目: 如图,正方形ABCD边长为6,E、F、G、H、M、N、P、Q为正方形边上的三等分点,求阴影部分的面积。




見上題至今仍無答案,便膽粗粗坐時光機回到1954年的新華學校小學六年級,試一試能否只用小學算術圖形方法解答,想了半天找不到辦法。看來要有小學奧林比克數學競賽水平的腦袋才能破解,自問無此腦袋也就不再去想,免得頭痛。
於是再坐時光機飛到1956年的初中,學到初等幾何後,數學腦筋開竅,用幾何方法就迎刄而解。
先證明三角形BIJ全等於三角形CFG。之後很易證明三角形FIN為等腰三角形。從N點畫一條綫垂直於FI,根據等腰三角形的性質可得知Q為FI的中點,IQ長度為FI的一半。
已知正方形邊長為6,E,J,F,I,G,K,H,L為各邊三等分點,FI=2,則FQ=IQ=1。
因三角形FNQ相似於三角形FGC,故NQ:GC=FQ:FC=1:4, GC=2,得NQ=1/2=0.5。
作KG的垂線OR,CQ的垂線OS,同理可證OR=SC=0.5而OS=RC=BCx1/2=6x1/2=3。
故QS=BC-BQ-SC=6-3-0.5=2.5
接下來就可以用小學算術圖形計算出白色四邊形面積了︰
黃色五邊形NQCGO面積=梯形NQSO面積 + 長方形DROS面積
=(NQ+OS)xQS/2+ORxCR
=(0.5+3)x2.5/2+0.5x3
=4.375+1.5
=5.875
同理可得其它3個五邊形面積都等於5.875
最後,白色四邊形面積=大正方形ABCD面積 - 4個五邊形面積=6x6 - 4x5.875=12.5
擬題者想必有答案,望能公布,也非常希望有小學算術高人不經幾何方法解出此題,公諸於世,以便提高我們的小學算術水平。



另外的方法,因四邊形MNOP的對角線為PN和MO。
PN=MO=6 - 0.5 - 0.5=5
對角線相等且互相垂直平分的四邊形為正方形,
故正方形MNOP面積=PN x MO /2=5 x 5 / 2 =25/2=12.5

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  很佩服CPY的钻研精神,还画出那么漂亮的解析图。

  这题我自己只算到第二大正方形面积时,就没有继续算下去,交了白卷,最后发题者给出的答案是100/9;

算法是在求出第二大正方形面积为20后,设阴影部分正方形的面積为x

∵ x/20=20/36

∴ x=100/9

  发题者说:当年我们大一学的东西已经下放到高三学,高一课程下放到初三,初一的课程现在也下放到小学了。



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回復 3# rainbow

看到發題者的解題思路和所得答案,不禁愕然,之後啞然失笑。

陰影部份,即我所畫的圖中的四邊形MNOP是不是正方形需要嚴格證明,這可以用初等幾何加以證明,但不能想當然認為就是正方形。所有正方形都是相似的四邊形,其面積當然可建立比例關係的等式。

既使MNOP是正方形,何來x/20=20/36即 x : 20 = 20 : 36 這種正方形面積比例等式?

它是根據甚麼數學定理或算術圖形計算得出?

恕我學淺,覺得此等式令人莫名其妙。由莫名其妙不靠譜的等式算出的結果一定也是不靠譜的。MNOP面積=100/9肯定是錯的。

不知Rainbow從何處得到此題?不是從只可「微微相信」的《微信》吧?(一笑)

如果早點貼上其解法,也許可早點指出其錯誤。

這種「只能用小學算術圖形計算」又不經嚴格推算的東西,只會浪費大家時間。

既然是《茶餘飯後》裏的貼文,如屬智力遊戲類,拙以為最好以輕量級(輕鬆有趣不刁鑽,不太為難七上八下老人)為妙,以免讓人望而生畏。


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  我同意CPY所言应以“輕鬆有趣不刁鑽,不太為難七上八下老人為妙”,所以这道题我就没多大兴趣去钻研下去,只等有人给我一个答案,结果也只有3个人给出各不相同的答案,一个说160/9,2个说100/9。

  计算过程如何我就懒得再详细去问了,因为若从正规的数学要求来说,根据其思路,首先必须证明要求出的四方形是个正方形,接着必须证出分隔出的几个相关大小三角形为相似三角形,才能列出 x/20=20/36 的程式。(20是用勾股定理算出的第二大正方形的面积,36是最大正方形面积)。这是一个相当繁琐的证明步骤。

  到底他们是想当然还是真的拿笔证明出了呢?我就不得而知了,反正我也懒得再去追究下去,玩玩而已,不想那么费劲!不过虽然交了白卷,经这么一玩,也可以让越来越闭塞的脑袋有点点开窍!真比起每天去看那些不断传来传去又似是而非的信息和图片更有用的多,反正都在消磨时间!

  至于这道题是不是属于“脑筋急转弯”的题目?我觉得并不太像,因为从图片看来视似从学生的考卷或作业纸上拍摄下来的,所以我估计若花一定的精力也许真可以证明出上述式子成立。有兴趣可以再慢慢去研究。

  我觉得如今学校的试题,大都用选答案的猜谜方式答题,只讲究快速答题并不太注重答题的步骤和程序,这对学生的思维开发是否有好处呢?是否更多培养了学生的取巧和侥幸心理呢?现在当学生真不易,做家长的更难!这也许是网上越来越多如此“刁钻考题”出现。无论如何,谢谢你花这么多时间来玩这个目前毫无结果的题目!



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